:: wikimiki.org ::

Pierwiastek Wielomianu

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastek wielomianu (albo miejsce zerowe wielomianu) jest to taka liczba (lub n-tka liczb w przypadku wielomianu wielu zmiennych), dla której wartość wielomianu wynosi zero. Na przykład, jeśli dany jest wielomian :

W(x)=x^3+x^2-x-1=(x+1)^2(x-1)

, to jego pierwiastkami będą liczby:
-

x_1 = x_2 = -1

(tzw. pierwiastek wielokrotny) i
-

x_3 = 1

Wielomian n-go stopnia jednej zmiennej ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych (będących liczbami rzeczywistymi) oraz dokładnie n pierwiastków zespolonych, przy czym pierwiastki k-krotne liczy się tutaj k razy. W przypadku trójmianu kwadratowego pierwiastki znajdujemy za pomocą dobrze znanych wzorów; podobne, choć bardziej złożone, wzory istnieją dla wielomianów stopnia 3 i 4 (Gerolamo Cardano i Niccolo Tartaglia). Długotrwałe próby znalezienia analogicznych wzorów dla wielomianów dowolnego stopnia doprowadziły matematyków do przypuszczenia, że wzory takie nie istnieją. Przypuszczenie to okazało się prawdą: Paolo Ruffini, a następnie Niels Abel i Ewaryst Galois udowodnili, że takie wzory istnieć nie mogą. Zobacz też: zasadnicze twierdzenie algebry, przegląd zagadnień z zakresu matematyki Kategoria:Algebra

Liczba

Liczba to jedno z podstawowych pojęć matematyki, które kształtowało się i rozwijało wraz z rozwojem cywilizacji i kultury.

Definicje

Liczba, jakkolwiek wydaje się być najbardziej intuicyjnym pojęciem matematycznym, nie jest pojęciem pierwotnym, lecz jest definiowana za pomocą pojęcia zbioru. Liczba naturalna to moc zbioru skończonego. Można ją także zdefiniować na inne sposoby, na przykład utożsamiając zero ze zbiorem pustym oraz definiując indukcyjnie n+1 jako zbiór . Para (element zbioru , liczba naturalna) z utożsamionymi parami (+,0) oraz (-,0) jest nazywana liczbą całkowitą. Liczba wymierna to klasa abstrakcji par (a,b), gdzie a jest liczbą całkowitą, a b liczbą całkowitą niezerową, ze względu na relację (a,b)=(c,d) <=> ad=bc. Liczba rzeczywista to klasa abstrakcji nieskończonych zbieżnych ciągów liczb wymiernych (a₁, a₂, ...) ze względu na relację równoważności (a₁, a₂, ...)=(b₁, b₂, ...) <=> lim a-b=0 Liczba zespolona to para (r,i) liczb rzeczywistych.

Historia

W pierwotnym znaczeniu była to wspólna własność zbiorów skończonych mających tyle samo elementów. Wyodrębnienie takiej wspólnej własności zbiorów jednoelementowych, zbiorów dwuelementowych i tak dalej doprowadziło do określenia pojęcia liczb naturalnych. Tak rozumiane liczby służą do liczenia przedmiotów. Po rozszerzeniu na zbiory nieskończone dało podstawę pojęciu liczby kardynalnej. Potrzeba wyrażenia za pomocą liczb takich wielkości, jak długość, ciężar, objętość, pole powierzchni czy masa spowodowała rozszerzenie pojęcia liczby i wprowadzenie liczb wymiernych (po raz pierwszy w Egipcie w XVII w. p.n.e.), a następnie liczb niewymiernych (matematycy greccy, uczniowie Pitagorasa, VI w. p.n.e.). Próby rozwiązywania równań algebraicznych doprowadziły w XVI wieku (matematyk włoski Girolamo Cardano) do wprowadzenia liczb ujemnych, a także do pierwszego w historii matematyki zastosowania liczb zespolonych. Szczegółową teorię liczb rzeczywistych opracowali w XIX wieku matematycy niemieccy Georg Cantor i Richard Dedekind. Teoria liczb zespolonych została ugruntowana przez matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa, który podał geometryczną interpretację tych liczb jako punktów płaszczyzny. Zobacz też: symbolika liczb, cyfra, liczby naturalne -- liczby parzyste -- liczby nieparzyste, liczby pierwsze -- liczby złożone, liczby całkowite -- liczby dodatnie -- liczby ujemne, liczby wymierne, liczby niewymierne -- liczby algebraiczne -- liczby przestępne -- liczby rzeczywiste, liczby zespolone -- liczby urojone, liczba kardynalna -- liczby porządkowe, liczby bliźniacze, liczby p-adyczne, kwaterniony, oktawy Cayleya, liczby podobieństwa Linki zewnętrzne:
- [http://www.republika.pl/alikol/liczby.htm O liczbach] Zawieranie się wymienionych zbiorów liczbowych w sobie pokazuje wykres: grafika:Liczby.png Zobacz też: podstawowe pojęcia z matematyki
- Kategoria:Arytmetyka ko:수 (수학) ja:数 simple:Number th:จำนวน

Krotka

Krotka (ang. tuple), zwana czasem n-tką, to uogólnienie pary (dwójki), trójki, czwórki, itd. na dowolną liczbę elementów. Krotka n-elementowa to uporządkowany skończony (n-elementowy) zbiór elementów. Inaczej mówiąc – jest to uporządkowana lista pewnych obiektów. Krotka jest uogólnieniem pojęcia ciągu skończonego, bowiem kolejne elementy krotki nie muszą należeć do tego samego zbioru. Krotki występują jako typy w wielu językach, m.in. językach rodziny ML, Pythonie i Cyclone. Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki. Kategoria:programowanie Kategoria:teoria mnogości ja:タプル

Wielomian

Wielomian – pojęcie to, w zależności od kontekstu, oznacza funkcję (na ogół zmiennej rzeczywistej lub zespolonej), albo szczególne wyrażenie algebraiczne.

Wielomian jako funkcja

Potocznie pod pojęciem wielomianu rozumiemy funkcję postaci: :

f(x)=a_x^+a_x^+\dots+a_x^+a_x+a_0

, gdzie a_i są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienna x przebiega odpowiedni zbiór. Liczby a_i nazywamy współczynnikami wielomianu, n jego stopniem, a_n najstarszym współczynnikiem, a a₀ wyrazem wolnym. Wielomian stopnia n ma co najwyżej n miejsc zerowych – wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian zespolony ma zespolone miejsce zerowe. Do obliczania wartości wielomianu dla danej liczby c wygodnie stosować jest schemat Hornera.

Aproksymacja funkcji ciągłych

Ze względu na swą prostotę i "porządne" własności (ciągłość, różniczkowalność) wielomiany odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej. Podstawowe twierdzenie Weierstrassa mówi, że każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami. Zagadnienie aproksymacji funkcji wielomianami doprowadziło do konstrukcji wielomianów Czebyszewa i Legendre'a.

Szeregi potęgowe

Próby przybliżania funkcji wielomianami doprowadziły do teorii szeregów potęgowych, które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Dla przykładu funkcja x → e^x ma rozwinięcie: :

e^x=1+\frac+\frac+\frac+\frac+\dots

Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zobacz też: funkcje specjalne).

Przestrzeń liniowa

W terminach algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową prostych funkcji potęgowych postaci x → x^k, gdzie k = 0, 1, 2... Zbiór wielomianów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych na R lub C. Twierdzenie Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha C([a, b]) z normą supremum.

Wielomian w algebrze

Wielomian jednej zmiennej x to wyrażenie algebraiczne postaci: :a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀, gdzie x to symbol zmiennej, zaś a_k to współczynniki należące do pewnego pierścienia, na przykład liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę a_n nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś a₀ wyrazem wolnym. Przykłady wielomianów jednej zmiennej: #2x (wielomian stopnia pierwszego) #3x³-2x²+x-1 (wielomian stopnia trzeciego) #x⁵+x³-2x+11 (wielomian stopnia piątego) #-9 (wielomian stopnia zero) #0. (wielomian zerowy) W tym sensie wielomiany to po prostu napisy, na których możemy wykonywać działania zgodnie z poznanymi w szkole regułami. Ostatni z podanych wielomianów to wielomian zerowy — odgrywa on rolę analogiczną do roli liczby 0 w zbiorze liczb całkowitych. W przypadku pierścieni nieskończonych bez dzielników zera, na których zwykle operujemy, rozróżnienie między funkcją a wyrażeniem algebraicznym nie jest konieczne. Ale na przykład wielomiany x² i x generują identyczne funkcje w pierścieniu Z modulo 2: 1²=1, 0²=0, nie chcemy ich jednak traktować jako tego samego obiektu. Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z danego pierścienia tworzy znowu pierścień, zwany pierścieniem wielomianów danego pierścienia.

Wielomiany wielu zmiennych

Analogicznie można rozpatrywać wielomiany dwóch zmiennych, czyli wyrażenia postaci :a_n,mxⁿy^m+ a_n-1,mx^n-1y^m + a_n,m-1xⁿy^m-1 + ... + a_1,1xy + a_1,0x + a_0,1y + a_0,0, następnie zaś wielomiany trzech zmiennych i tak dalej Zobacz też: interpolacja wielomianowa, miejsce zerowe, postać Lagrange'a wielomianu, postać Newtona wielomianu, stopień wielomianu, przegląd zagadnień z zakresu matematyki. Kategoria:Algebra Kategoria:Funkcje matematyczne ko:다항식 ja:多項式

Pierwiastek wielokrotny

Pierwiastek wielokrotny wielomianu W(x) to taki pierwiastek a tego wielomianu, że wielomian W dzieli się bez reszty przez (x-a)^k, gdzie k ≥ 2. Największą liczbę k o tej własności nazywamy krotnością pierwiastka a. Przykłady:
- liczba 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym (podwójnym) wielomianu x³-3x²+4, bo jest jego pierwiastkiem, wielomian ten dzieli się przez (x-2)², ale nie dzieli się już przez (x-2)³.
- bezpośrednio z postaci wielomianu W(x)=x²(x–1)³(x+2)⁴ widać, że 0 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu W, 1 jest pierwiastkiem potrójnym i –2 — poczwórnym. Zobacz też: pochodna wielomianu kategoria:Algebra

Liczby zespolone

Liczby zespolone można rozumieć jako pewne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych. Podobnie jak one tworzą ciało. Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, co oznacza, że każdy wielomian o współczynnikach z ciała liczb zespolonych ma w nim pierwiastki. Własności tej nie ma ciało liczb rzeczywistych, w którym np. równanie

x^2=-1

nie ma rozwiązań (w ciele liczb zespolonych są nimi

i

oraz

-i

, o których niżej). Ciało liczb zespolonych jest ponadto najmniejszym ciałem algebraicznie domkniętym zawierającym liczby rzeczywiste. Powiemy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych. Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie

i

nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano na pierwiastki równania 3. stopnia). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od wynalezienia. Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci a+bi, gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi, natomiast i obiektem o takiej własności, że i²= -1. Przy tym i nazywamy jednostką urojoną, a częścią rzeczywistą, zaś b częścią urojoną liczby zespolonej a+bi. Spotykany jest czasami zapis

i=\sqrt

, który obecnie uznawany jest za niepoprawny. Przy tej interpretacji "zwykłe" liczby rzeczywiste utożsamiamy z liczbami zespolonymi o części urojonej równej 0: a=a+0i. W elektronice i pokrewnych dziedzinach, jednostka urojona jest często zapisywana jako

j

, żeby uniknąć pomyłek z wartością chwilową prądu elektrycznego tradycyjnie oznaczaną przez

i

. Stosuje się też oznaczenia:
- Re z jako część rzeczywista liczby zespolonej z,
- Im z jako część urojona liczby z,
- arg z jako tzw. argument liczby zespolonej (kąt między osią rzeczywistą a promieniem wodzącym punktu reprezentującego daną liczbę zespoloną).
- |z| jako tzw. moduł liczby zespolonej (uogólnienie modułu liczby rzeczywistej). Zachodzą związki: :

|z|=\sqrt

\cos \arg z=\frac

\sin \arg z=\frac

Gdy |z|=0, argument jest nieoznaczony. Wartością główną argumentu nazywamy argument w przedziale

-\pi<\arg(z)\leq\pi

. Liczbę zespoloną można przedstawić w kilku postaciach:
- Postać algebraiczna:

z=\mboxz+i \mboxz

- Postać trygonometryczna:

z=|z|(\cos \arg z+i \sin \arg z)

- Postać wykładnicza:

z=|z|e^

Przykład:
Liczbę

1+i\sqrt

można przedstawić jako:
-

1+i\sqrt

(postać algebraiczna)
-

2(\cos\frac+i \sin\frac)

(postać trygonometryczna)
-

2e^

(postać wykładnicza) Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, należy tylko pamiętać o własności i²= -1.
- (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
- (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
- (a+bi)·(c+di)=ac+(bc+ad)·i + bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)·i. Dzielenie liczb zespolonych:

\frac=\frac+\fraci

Interpretacja liczb zespolonych jako wektorów na płaszczyźnie, dla których w specjalny sposób określono mnożenie znana była już pod koniec XVIII wieku, choć ostatecznie przypisuje się ją Argandowi. Od Hamiltona pochodzi natomiast formalne określenie liczb zespolonych jako zbioru R², w którym określono dodawanie i mnożenie par liczb rzeczywistych <a, b> wzorami:
- <a,b>+<c,d>=<a+c,b+d>
- <a,b>·<c,d>=<ac-bd,bc+ad>. W tej konstrukcji zbiór liczb rzeczywistych utożsamiamy ze zbiorem wszystkich par postaci . Z interpretacji geometrycznej wywodzi się wspomniana wyżej reprezentacja liczby zespolonej a+bi za pomocą modułu i argumentu. Moduł liczby zespolonej, albo inaczej wartość bezwzględna, to długość wektora reprezentującego daną liczbę, zaś argument to kąt między osią x a danym wektorem mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy 0 (liczby dodatnie) lub π (liczby ujemne). Argument liczby 0 nie jest określony. Każdy wielomian ma tyle pierwiastków, jaki jest jego stopień, stąd potrzeba liczenia k pierwiastków

W_=\sqrt[n]\left(\cos\left(\frac\right)+i\sin\left(\frac\right)\right)

(k=0,1...n-1) gdzie φ₁ i φ₂ są argumentami liczb z₁ i z₂. Dzięki temu mnożenie przez i można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt 90° w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara. Bezpośrednio stąd wynika też poniższa równość, zwana wzorem de Moivre'a: :(cos φ+isin φ)ⁿ=cos(nφ) + isin(nφ). Liczb zespolonych nie można porównywać, czyli określać, która z nich jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać moduły i kąty (argumenty) dwóch liczb zespolonych, gdyż zarówno moduł jak i kąt są liczbami rzeczywistymi. Dwie liczby zespolone

z_1=a_1+i b_1

z_2=a_2+i b_2

są równe, jeżeli: # ich moduły są równe i argumenty są równe, czyli

\sqrt=\sqrt

oraz

\arctan=\arctan

; # ich części rzeczywiste są równe i ich części urojone są równe, czyli

a_1=a_2

b_1=b_2

. Oba warunki są równoważne. Liczby zespolone można rozumieć jako szczególny przypadek:
- kwaternionów,
- oktaw Cayleya. Wśród liczb zespolonych dają się wyróżnić:
- liczby naturalne,
- liczby całkowite,
- liczby wymierne,
- liczby niewymierne,
- liczby przestępne,
- liczby algebraiczne,
- liczby rzeczywiste,
- liczby urojone.

Zobacz też:

- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- liczba,
- liczba sprzężona,
- i (liczba urojona)
- wzór Eulera Kategoria:Liczby Kategoria:Analiza matematyczna ko:허수 ja:複素数

Gerolamo Cardano

Girolamo Cardano (Geronimo Cardano, Gerolamo Cardano, Hieronymus Cardanus) – urodzony 24 września 1501 roku, zmarł 21 września 1576. Włoski matematyk, filozof, astrolog i lekarz epoki Renesansu. Urodzony w Pawii jako nieślubne dziecko utalentowanego prawnika, w 1520 wstąpił na tamtejszy uniwersytet, później studiował medycynę w Padwie. Cardano napisał około 300 dzieł, z których zachowało się nieco ponad 100. W 1545 wydał swoje największe dzieło Ars magna, w którym opublikował rozwiązanie równania trzeciego stopnia. Mimo że nie on był odkrywcą tych wzorów, lecz Tartaglia, podane przez niego wzory noszą dziś nazwę wzorów Cardana. Cardano używał jako jeden z pierwszych liczb zespolonych. W latach 1575-1576 napisał swoją autobiografię. Cardano był również znanym lekarzem, mechanikiem i astrologiem. Przewidział datę własnej śmierci, a gdy nie nadchodziła w wyznaczonym przez siebie dniu, popełnił samobójstwo. Cardano, Girolamo ko:지롤라모 카르다노 ja:ジェロラモ・カルダーノ

Niccolo Tartaglia

Niccolo Tartaglia (ur. 1499 lub 1500 w Brescia, zm. 13 grudnia 1557 w Wenecji) - matematyk włoski, autor prac z dziedziny matematyki, mechaniki, balistyki, geodezji, teorii fortyfikacji itp. Wraz z Gerolamo Cardano jest współtwórcą metody rozwiązywania równań algebraicznych trzeciego stopnia. Autor pierwszego przekładu Elementów Euklidesa (1543) na jęz. nowożytny - włoski. Tartaglia, Niccolo ko:니콜로 타르탈리아

Paolo Ruffini

Paolo Ruffini – urodzony 22 września 1765 w Valentano w państwie papieskim, zmarł 10 maja 1822 w Modenie we Włoszech. Włoski lekarz i matematyk. Jako pierwszy udowodnił, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki wielomianu stopnia. W 1783 roku Ruffini wstąpił na uniwersytet w Modenie, gdzie studiował matematykę, medycynę, filozofię i literaturę. Jeszcze jako student, po odejściu wykładowcy do innych zajęć, Ruffini prowadził wykłady z analizy matematycznej. Ostatecznie skończył uniwersytet w 1788 jako absolwent fakultetów filozoficznego, medycznego, chirurgicznego i matematycznego. Jeszcze w tym samym roku objął w Modenie stanowisko nauczyciela podstaw analizy matematycznej, a trzy lata później wyznaczony został na stanowisko profesora Elementów Matematyki. Miał też licencję na uprawianie zawodu lekarza w szpitalu przykatedralnym w Modenie. Po zajęciu Modeny przez wojska Napoleona i utworzeniu Republiki Cisalpińskiej Ruffini wszedł w skład jej rady. Jednak już w 1798 wrócił na krótko do pracy naukowej na uniwersytecie w Modenie. Zobowiązany do złożenia przysięgi na wierność Republice, odmówił z pobudek religijnych, w wyniku czego pozbawiono go stanowiska i zakazano nauczania. Pozbawiony uciążliwych obowiązków, Ruffini więcej czasu poświęcał medycynie i własnym badaniom matematycznym, a w szczególności próbie dowodu, że równanie algebraiczne piątego w postaci ogólnej nie daje się rozwiązać. Problem ten był badany już od około 300 lat, gdy del Ferro, Tartaglia, Cardano i Ferrari podali wzory na rozwiązanie równań stopni 3 i 4. W tym czasie zajmowali się nim matematycy tej miary co Bezouy, Euler i Lagrange, prawdopodobnie jednak to Ruffini wpadł na pomysł, że wzory takie nie istnieją. Ruffiniemu udało się się rozwiązać ten problem dzięki wykorzystaniu teorii grup permutacji, stworzonej przez Lagrange'a. Ruffini wprowadził do niej nowe pojęcia: rząd elementu grupy, łączność działania, rozkład permutacji na cykle. Podał pięć różnych dowodów swojego twierdzenia. Mimo że dowody te zawierają drobne luki, z dzisiejszego punktu widzenia, są one wystarczające, by przyznać Ruffiniemu palmę pierwszeństwa w rozwiązaniu problemu. Ruffini opublikował swe wyniki w książce, której egzemplarz wysłał w 1801 roku Lagrange'owi, lecz nie otrzymał żadnej odpowiedzi. Również ponowna próba kontaktu z Lagrangem podjęta w roku 1802 pozostała bez echa. Nie zniechęcony tym Ruffini opublikował rok później kolejny dowód swojego twierdzenia, ale i ten przeszedł niezauważony w środowisku matematycznym. Reakcja ta może dziwić, jednak niektórzy historycy matematyki przypuszczają, że było to spowodowane z jednej strony niedowierzaniem, że amator (trzeba pamiętać, że Ruffini w tym czasie nie był już zawodowym matematykiem) może dokonać czegoś, nad czym bezskutecznie pracowały największe umysły epoki, z drugiej zaś zwykłą zawiścią. Ruffini zwrócił się nawet o ocenę swych wyników do matematyków paryskich, jednak ani Legendre ani ponownie Lagrange nie uznali ich za warte uwagi. Ruffini, podobnie jak później Galois, wyprzedził epokę, w której przyszło mu żyć. Bardziej pozytywnie oceniło rezultaty Ruffiniego brytyjskie Royal Society, a także Cauchy, który na rok przed śmiercią Ruffiniego napisał do niego, że wysoko ceni sobie jego prace. Cauchy rozwinął również metody Ruffiniego w teorii grup – i jest to jedyny rzeczywisty wkład jaki można przypisać Ruffiniemu w rozwój matematyki. Mimo zawodu jakiego doświadczył, Ruffini nadal zajmował się obiema dyscyplinami, w jakich zdobył wykształcenie, medycyną i matematyką. Po upadku Napoleona został rektorem uniwersytetu w Modenie i wykładowcą matematyki stosowanej oraz medycyny praktycznej. W roku 1817 podczas epidemii tyfusu zachorował i choć udało mu się wydobrzeć, nie odzyskał już pierwotnych sił. W roku 1819 zrezygnował z katedry medycyny, nadal jednak pracował naukowo i rok później opublikował pracę naukową o tyfusie. Ruffini, Paolo

Evariste Galois

Evariste Galois (ur. 25 października 1811 r. - zm. 31 maja 1832 r. ) - francuski matematyk o bardzo dużych zasługach dla rozwoju algebry, w szczególności zagadnienia rozwiązywalności wielomianów. Zginął w pojedynku w wieku 21 lat, choć istnieje też podejrzenie, że został zamordowany za sympatie republikańskie, a pojedynek jedynie upozorowano.

Zobacz też:

- teoria Galois
- ciało Galois.

Link zewnętrzny:

- [http://www.galois-group.net/ Strona o Evariste Galois]
- [http://www.matematyka.org/main23626520210,2,yisvp.htm biografia na matematyka.org] Galois, Evariste ko:에바리스트 갈루아 ja:エヴァリスト・ガロア

Kategorie:Afrikanische Literatur

Kategorie:Literatur nach Sprachen und Kulturräumen

wakacje jastrz�bia g�ra Lektury �mieszne zdj�cia reykjavik hotels Sepsa

:: RELATED NEWS ::

Forest County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Forest County.png

Forest County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 10,024. Its county seat is Read More...

Fond du Lac County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Fond du Lac County.png

Fond du Lac County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 97,296. Its county seat is Image:Map of Wisconsin highlighting Florence County.png Florence County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 5,088. Its county seat is

Antonio de La Gandara
Antonio de La Gandara (December 16, 1861 - June 30, 1917) was a painter, pastellist and draughtsman. He was born in Paris, France, but his father was of Spanish ancestry, born in San Luis Potosi

Eau Claire County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Eau Claire County.png

Eau Claire County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 93,142. Its county seat is

Dunn County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Dunn County.png

Dunn County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 39,858. Its county seat is

Douglas County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Douglas County.png

Douglas County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 43,287. Its county seat is

Door County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Door County.png

Door County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 27,961. Its county seat is Read More...

Dodge County, Wisconsin

Image:Map of Wisconsin highlighting Dodge County.png

Dodge County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 85,897. Its county seat is

Dane County, Wisconsin
Dane County is a county located in the state of Wisconsin. As of 2000, the population is 426,526. Its county seat is Madison ⁶. The United States Census Bureau's Madison